<< Предыдушая Следующая >>

Характеристическая функция игры

Теорию кооперативных игр интересует в основном то, какие коалиции образуются в процессе игры и какие условия необходимы для устойчивого существования коалиций.
Игра в нормальной форме, как достаточно подробное описание конфликтной ситуации, оказалась слишком сложной моделью для исследования кооперативных взаимодействий игроков. Чтобы описать с помощью игры в нормальной форме даже самый простой переговорный процесс между игроками, требуется немыслимое усложнение множества их стратегий, включающее в себя как элементы, соответствующие передаче информации другим игрокам, так и элементы, описывающие реакцию на их сообщения. Основная идея теории кооперативных игр состоит в том, чтобы, не рассматривая переговорный процесс как таковой, анализировать возможные его исходы и делать выводы о реализуемости того или иного результата переговоров. Поэтому и элементами описания игры в форме характеристической функции - базовой модели теории кооперативных игр - являются не стратегии игроков, а выигрыши, которые может себе гарантировать та или иная коалиция.
Игра в форме характеристической функции может быть построена на основе игры в нормальной форме. Так обычно и приходится делать, потому что реальные конфликты обычно формулируются сперва в нормальной форме - перечислением множества игроков, их стратегий и функций выигрыша. Характе-ристическая функция определяет выигрыш, получаемый коалицией S (если в процессе игры такая коалиция образовалась) при
рациональных действиях ее участников [70]. Решение о том, что понимать в каждом конкретном случае под рациональными действиями игроков, принимается из анализа игры в нормальной форме и выбранной модели рационального поведения.
Базовая модель кооперативной игры разрешает передачу выигрыша между игроками, а это значит, что предполагается наличие линейно-трансферабельного товара [72], например, денег. Это предположение типично для экономических моделей, к которым относятся и модели управления ОС.
Характеристической функцией игры п лиц называется такая вещественнозначная функция v(S), определенная на подмножествах S с 7V множества игроков N, что v(0) = 0 [67]. Характеристическая функция называется супераддитивной, если (1) MS,T = 0 v(S) + V(T)то есть для любых непересекающихся коалиций их объединение может получить полезность не меньшую, чем эти коалиции могли бы в сумме получить, действуя по отдельности [67]. В этих условиях объединение в коалицию, включающую всех игроков, представляет собой самое эффективное с точки зрения суммарной полезности поведение участников игры, однако устойчивость этой коалиции требует дополнительного исследования (см. ниже).
Супераддитивные игры представляют собой в некотором смысле типичный случай. Действительно, пусть имеются коалиции S и 7 с их выигрышами v(.V) и v(7). Что мешает образующейся коалиции S U Т действовать так, как если бы такого объединения не существовало? Тогда полезность этой коалиции будет как минимум равна сумме полезностей коалиций S и Т, обеспечивая супераддитивность.
Эти нестрогие рассуждения, как показано ниже, верны лишь при некоторых предположениях.
Классическая теория [54, 67] рассматривает в основном супераддитивные игры. Главные вопросы, которые встают при их исследовании - это вопросы об условиях реализуемости максимальной коалиции N и справедливом распределении выигрыша v(N) между игроками.
Обычно игровые задачи, в том числе и задачи управления ОС, ставятся в нормальной форме. Для исследования коалицион-
ного взаимодействия игру необходимо перевести в форму характеристической функции. При этом процедура перехода существенно зависит от используемого принципа рационального поведения игроков.
Для классической постановки задачи теории кооперативных игр характерно отсутствие информированности членов коалиции о стратегиях игроков, не входящих в коалицию и о структуре других образовавшихся коалиций. В этих условиях осторожные игроки должны использовать принцип максимального гарантированного результата (МГР) для оценки выигрыша коалиции, к которой они собираются присоединиться. Применение принципа МГР для некоторой коалиции S состоит в минимизации выигрыша коалиции по стратегиям игроков, не входящих в коалицию S, и, затем, в максимизации выигрыша по стратегии коалиции S.
Под стратегией коалиции понимается вектор стратегий ее участников, а под выигрышем коалиции - сумма их выигрышей. Характеристическая функция определяется выражением (2) v(S) = max min E/JOWms)],
ys^AS yN\SGAN\S iGS
где = (.уДея e = ДД - вектор действий участников
i<=S
коалиции S, afi(.) - их целевые функции.
В выражении (2) можно заменить чистые стратегии на смешанные. Тогда v(.V) будет в точности совпадать с нижним значением [54, 68] антагонистической игры двух лиц - коалиции S и коалиции N\S. Введенная таким образом характеристическая функция всегда супераддитивна [70].
Несмотря на удобство применения принципа МГР для построения характеристической функции, дополнительная информированность игроков может сделать более логичным использование других концепций равновесия. Обратим внимание на то, что переговорный процесс должен сопровождаться передачей игроками друг другу информации о своих функциях выигрыша, поскольку подобные данные могут оказывать существенное влияние на структуру коалиций. В связи с этим можно предположить, что к моменту окончательного выбора коалиции каждый игрок (а значит и любая коалиция) будет
обладать информацией о целевых функциях всех остальных игроков (а, значит, и всех возможных коалиций).
Тогда коалиция S должна ожидать от остальных игроков действий, направленных на максимизацию их функций полезности, а не действий, наихудших для коалиции S, как предписывает МГР.
<< Предыдушая Следующая >>
= Перейти к содержанию учебника =
Информация, релевантная "Характеристическая функция игры"
  1. Описание игры в форме характеристической функции
    Определение 1 [67]: Игра в форме характеристической функции задается множеством игроков N и характеристической функцией v(-) на его подмножествах. Многими исследователями отмечалось [65, 67, 70, 83], что вопрос о порядке и способах взаимодействия игроков в теории кооперативных игр разработан недостаточно полно. Однако целью введения характеристической функции, как основы описания игры, является
  2.   § 7. О - 1-РЕДУЦИРОВАННАЯ ФОРМА
      7.1. По многим соображениям, и в том числе для возможностей сравне&ния значений различных характеристических функций на одной и той же коалиции, представляется удобным произвести своего рода нормировку характеристических функций. Определение. Характеристическая функция v над / назьюается 0 — 1 -редуцированной (имеет 0 — 1-редуцированную форму) , если v(i) = 0 для любого
  3. Кооперативное взаимодействие центров в ОС с распределенным контролем
    Для исследования возможностей кооперации центров в рассматриваемой игре построим характеристическую функцию v(S), ставящую в соответствие каждой коалиции суммарный выигрыш, на который могут рассчитывать ее участники, играя совместно. Будем считать, что характеристическая функция определяется как равновесный по Нэшу выигрыш коалиции S в игре с коалицией N\S, состоящей из всех остальных центров.
  4.   § 8. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ ИГРОКОВ
      В соответствии со сказанным в п. 7.4 мы будем для любого числа и игроков фиксировать наличие нулевой характеристической функции как представителя класса несущественных характеристических функций, а также перечислять все 0 - 1-редуцированные характеристические функции как представителей классов существенных характеристических функций. Из сказанного в п. 4.1 следует, что каждая
  5. Вектор Шепли
    Определение 14 [52]: Оператор значения анонимен, если он коммутирует с перестановкой агентов, то есть при перестановке двух игроков местами соответственно переместятся и компо-ненты значения игры. Определение 15 [52]: Оператор значения маргинален, если его значение зависит только от маргинальных вкладов игроков в коалиции, то есть от величин v(S U !'!) - v'(.V). Определение 16 [52]: Носителем
  6.   § 21. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВЕКТОРА ШЕПЛИ
      21.1. Найдем сначала вектор Шепли для характеристической функции вида cvR, где vR — простейшая характеристическая функция (см. п. 4.2), ас > 0. Теорема. Для вектора Шепли Ф(сі>д) характеристической функции cvR (где с > 0) должно быть с IR I Ф/(с^) = (21.1) если і ЄR, 0,              если і Є
  7. Рыночный риск ценной бумаги и характеристическая линия
    Так как рыночный (систематический) риск отражает зависимость | движения ожидаемой доходности рассматриваемого актива (например, І акции) от движения рынка в целом (рыночного портфеля), то мерой р рыночного риска может быть выбрана степень этой зависимости. Гра- | фически связь ожидаемой доходности по акции j (kj) и ожидаемой до- ходности рынка km — это характеристическая прямая, следовательно, I
  8.   § 4. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА ВСЕХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
      В линейном пространстве всех вещественных функций на множест&ве 21 множество ІУ(І) всех характеристических функций над / (т.е. функ&ций, обладающих свойствами супераддитивносш и персональности) имеет определенное строение. Теорема. В пространстве всех вещественных функций на I (где 11 | = п) множество V(I) является выпуклым конусом, размерность ко&торого не превосходит 2п — 1.
  9. Оценка меры систематического риска на практике
    На практике отсутствует возможность оценки ожидаемых значений доходности как по конкретной бумаге, так и по рыночному портфелю. Теоретическая посылка оценки бета по ожиданию будущих изменений заменяется оценкой по прошлым наблюдениям поведения доходности kj и km. Если прошлые изменения могут быть гарантией будущего развития (часто ожидания инвесторов основываются на вероятностном распределении
  10.   § 10. ДЕЛЕЖИ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
      Присоединение к заданию характеристической функции множества допустимых дележей, т.е. ее превращение в кооперативную игру, можно рассматривать как своего рода оптимальное решение задачи, которая описывается характеристической функцией. Это значит, что характеристи&ческая функция бескоалиционной игры находит в соответствующей ей кооперативной игре некоторое свое оптимизационное уточнение. Однако
  11. Модель принятия решений
    Рассмотрим ОС, состоящую из центра и п агентов, обладающих свойством активности, то есть собственными предпочтениями и способностью самостоятельно предпринимать некоторые действия [34]. Опишем модель принятия решений агентом. Для того чтобы определить, как задаются предпочтения агентов, введем следующее описание взаимодействия каждого агента с его обстановкой, в которую могут входить другие
  12. 2.2. Задача стимулирования в ОС с распределеннымконтролем
    В разделе 2.2 рассматриваются задачи стимулирования, характерные для матричных структур управления ОС, находится множество равновесий Нэша в двухуровневой ОС с распределенным контролем. Для исследования коалиционного взаимодействия строится характеристическая функция и исследуются условия реализуемости максимальной коалиции элементов промежуточного уровня иерархии. Также решается задача
  13.   § 23 *. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЕКТОРА ШЕПЛИ ИЗ АКСИОМ
      Выведем формулу (21.4) для компонент вектора Шепли непосред&ственно из положенных в его основу аксиом эффективности, симметрии агрегации. Говоря точнее, мы воспользуемся формулой (21.1) для ком&понент вектора Шепли простейшей характеристической функции и явным представлением (4.3) —(4.4) произвольной характеристической функции через простейшие и преобразуем полученное выражение к виду (21.5).
  14.   § 2. АБСТРАКТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
      Говоря абстрактно, характеристическая функция бескоалиционной игры состоит в постановке в соответствие каждому подмножеству некоторо&го множества (игроков) вещественного числа. Поэтому о ней можно го&ворить и вне какой-либо связи с бескоалиционными играми. На этом пути возникает весьма плодотворное понятие кооперативной игры, о которой речь будет идти ниже. Определение.
  15.   ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
      Основной рассматриваемый в данной книге объект — игра — представляет со&бой теоретико-игровую конструкцию, в образовании которой участвуют мно&жества с элементами различной природы. Для элементов большинства вводи&мых далее множеств мы будем использо&вать следующие обозначения: і, j, к - игроки в бескоалиционной игре; Xj, x'j, yj,... - чистые стратегии игро&ка і в бескоалиционной
  16.   § 24. ВЕКТОР ШЕПЛИ ДЛЯ ИГР ТРЕХ ЛИЦ
      В отдельных случаях формула (21.4) для компонент вектора Шеп&ли допускает более "замкнутое" их описание. Помимо простейших игр (см. п. 21.1), это удается сдедать, например, для игр трех лиц. Ввиду сказанного в п. 20.4 мы можем ограничиться существенными иг&рами, а ввиду сказанного в п. 21.8 — играми в 0—1-редуцированной форме. Теорема. Если v- характеристическая функция
Портал "ФИНАНСЫ-КРЕДИТ" © 2014
sci@all-sci.net




Яндекс.Метрика

Рейтинг@Mail.ru